Bilevel optimization for regression of HH onto FHN
$$ \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\norm#1{\left\lVert #1 \right\rVert} \xdef\dist{\rho} \xdef\and{\&}\xdef\AND{\quad \and \quad}\xdef\brackets#1{\left\{ #1 \right\}} \xdef\parc#1#2{\frac {\partial #1}{\partial #2}} \xdef\mtr#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}}\xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\brackets#1{\left(#1\right)}\xdef\d{\mathrm{d}} \xdef\absval#1{\left|#1\right|} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\l{\lambda} \xdef\th{\vartheta} \xdef\a{\alpha} \xdef\vf{\varphi} \xdef\Tagged#1{(\text{#1})} \xdef\tagged*#1{\text{#1}} \xdef\tagEqHere#1#2{\href{#2\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDeHere#1#2{\href{#2\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\tagEq#1{\href{\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDe#1{\href{\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\T#1{\htmlId{eq-#1}{#1}} \xdef\D#1{\htmlId{de-#1}{\vv{#1}}} \xdef\conv#1{\mathrm{conv}\, #1} \xdef\cone#1{\mathrm{cone}\, #1} \xdef\aff#1{\mathrm{aff}\, #1} \xdef\lin#1{\mathrm{Lin}\, #1} \xdef\span#1{\mathrm{span}\, #1} \xdef\O{\mathcal O} \xdef\ri#1{\mathrm{ri}\, #1} \xdef\rd#1{\mathrm{r}\partial\, #1} \xdef\interior#1{\mathrm{int}\, #1} \xdef\proj{\Pi} \xdef\epi#1{\mathrm{epi}\, #1} \xdef\grad#1{\mathrm{grad}\, #1} \xdef\gradT#1{\mathrm{grad}^T #1} \xdef\gradx#1{\mathrm{grad}_x #1} \xdef\hess#1{\nabla^2\, #1} \xdef\hessx#1{\nabla^2_x #1} \xdef\jacobx#1{D_x #1} \xdef\jacob#1{D #1} \xdef\subdif#1{\partial #1} \xdef\co#1{\mathrm{co}\, #1} \xdef\iter#1{^{[#1]}} \xdef\str{^*} \xdef\spv{\mcal V} \xdef\civ{\mcal U} \xdef\other#1{\hat{#1}} $$
Vzpomeňme si, že SINDy metoda spočívala v optimzalizaci $$ \min _{\vv \Xi} \brackets{\frac 1 2 \norm{\vv{\dot{X}} - \vv \Theta(\vv X) \vv \Xi}_2^2 + \mu R(\vv \Xi)}, $$ což můžeme v případě LASSO regrese jakožto optimalizační metody napsat jako $$ \min _{\vv \Xi} \brackets{\frac 1 2 \norm{\vv{\dot{X}} - \vv \Theta(\vv X)\vv \Xi}_2^2 + \mu \norm{\vv \Xi}_1}. $$
Předpokládejme, že máme trajektorii "pevnou" HH modelu $\vv H$, derivace $\vv{\dot{H}}$ a obdobně pro FHN model trajektorie $\vv F$ a příslušné derivace $\vv{\dot F}$.
Potom nalezení lineární transformace modelu HH na model FHN můžeme formulovat jako úlohu $$ \min _{\vv \Lambda} \frac 1 2 \norm{\vv F - \vv H \vv \Lambda}_2^2. $$
Jak jsme si řekli, tak uvažujeme, že trajektorie $\vv H$ je "pevná", tedy že nemůžeme měnit parametry HH modelu. Naopak o modelu FHN předpokládeme, že jeho parametry měnit můžeme. Tedy bychom chtěli nalézt pro model FHN
$$
\frac{\d \vv u}{\d t} = \vv f(\vv u; \vv p),
$$
kde funkce $\vv f$ zadává FHN model, $\vv p$ je vektor parametrů a $\vv u$ je stav FHN systému, takové parametry, že řeší úlohu
$$
\min_{\vv p} \frac 1 2 \sum_{i = 1}^N \absval{norm{H_{1,i, i}\cdot} \vv \Lambda - \vv u_1(u(t_i; \vv p)}^_2^2,
$$
kde $H_{1,i, i}\cdot}$ je první$i$-té složkapozorování HH modelu (v čase $t_i$) a $\vv u_1(u(t_i; \vv p)$ je první složkapozorování FHN modelu v čase $t_i$ za předpokladu parametrů $\vv p$. Označme
$$
\vv u(T; \vv p) = \mtr{
\vv u(t_1; \vv p) \
\vdots \
\vv u(t_N; \vv p)
}, \quad
T = \set{t_1, \dots, t_N}.
$$
Potom můžeme tyto 2 části dát dohromady a formulovat úlohu
$$
\min_{\vv \Lambda} \frac 1 2 \norm{\vv u(T; \vv{\hat p}) - \vv H \vv \Lambda}_2^2 \
\text{za podmínky } \vv{\hat p} = \argmin_{\vv p} \frac 1 2 \sum_{i = 1}^N \absval{norm{H_{1,i, i}\cdot} \vv \Lambda - \vv u_1(u(t_i; \vv p)}^_2^2
$$