Skip to main content

7. přednáška - Teorie užitečnosti

$$ \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\norm#1{\left\lVert #1 \right\rVert} \xdef\dist{\rho} \xdef\and{\&}\xdef\AND{\quad \and \quad}\xdef\brackets#1{\left\{ #1 \right\}} \xdef\parc#1#2{\frac {\partial #1}{\partial #2}} \xdef\mtr#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}}\xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\l{\lambda} \xdef\th{\vartheta} \xdef\a{\alpha} \xdef\vf{\varphi} \xdef\Tagged#1{(\text{#1})} \xdef\tagged*#1{\text{#1}} \xdef\tagEqHere#1#2{\href{#2\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDeHere#1#2{\href{#2\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\tagEq#1{\href{\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDe#1{\href{\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\T#1{\htmlId{eq-#1}{#1}} \xdef\D#1{\htmlId{de-#1}{\vv{#1}}} \xdef\conv#1{\mathrm{conv}\, #1} \xdef\cone#1{\mathrm{cone}\, #1} \xdef\aff#1{\mathrm{aff}\, #1} \xdef\lin#1{\mathrm{Lin}\, #1} \xdef\span#1{\mathrm{span}\, #1} \xdef\O{\mathcal O} \xdef\ri#1{\mathrm{ri}\, #1} \xdef\rd#1{\mathrm{r}\partial\, #1} \xdef\interior#1{\mathrm{int}\, #1} \xdef\proj{\Pi} \xdef\epi#1{\mathrm{epi}\, #1} \xdef\grad#1{\mathrm{grad}\, #1} \xdef\gradT#1{\mathrm{grad}^T #1} \xdef\gradx#1{\mathrm{grad}_x #1} \xdef\hess#1{\nabla^2\, #1} \xdef\hessx#1{\nabla^2_x #1} \xdef\jacobx#1{D_x #1} \xdef\jacob#1{D #1} \xdef\subdif#1{\partial #1} \xdef\co#1{\mathrm{co}\, #1} \xdef\iter#1{^{[#1]}} \xdef\str{^*} \xdef\spv{\mcal V} \xdef\civ{\mcal U} \xdef\other#1{\hat{#1}} \xdef\xx{\vv x} \xdef\yy{\vv y} $$

Nechť $\mcal U$ je množina událostí, která je seřazená podle toho, jak jsou pro nás užitečné. Množinu $\mcal U$ rozšíříme o konvexní kombinace $$ r_1 A_1 + \dots + r_n A_n, $$ kde $A_1, \dots, A_n \in \mcal U$ a $r_1, \dots, r_n \geq 0$ s $r_1 + \dots + r_n = 1$.

Relace $A \prec B$ znamená, že $B$ upřednostňuji před $A$. $A \parallel B$ znamená, že žádnou událost neupřednostňuji.

Axiomy teorie užitečnosti $\D{AXT}$
  • $\forall A,B$ nastane právě jedna možnost $$A \succ B, A \prec B, A \parallel B \tag{\T{U1}}$$
  • (U02): $\parallel$ je relace ekvivalence $\T{U2}$
  • (U03): je tranzitivní
  • (U04): $A \prec B \parallel C \implies A \prec C$ a $A \parallel B \prec C \implies A \prec C$
  • (U05): $1 \cdot A + 0 \cdot B = A$
  • (U06): $r_1 A_1 + \dots + r_n A_n = r_{ \sigma_1} A_{ \sigma_1} + \dots + r_{ \sigma_n} A_{ \sigma_n}$ pro libovolnou permutaci $\sigma \in S(n)$
  • (U07): $rA + (1-r)(sB + (1-s)C) = rA + (1-r)sB + (1-r)(1-s)C$
  • (U08): $rA + (1-r)A = A$
  • (U09): $A \parallel C$ a vezmeme $r \in [0,1], B \in \mcal U \implies rA + (1-r)B \parallel rC + (1-r)B$
  • (U10): $A \prec C, r > 0, B \in \mcal U \implies rA + (1-r)B \prec rC + (1-r)B$
  • (U11): $A \prec B \prec C \implies \exists r \in [0,1] : rA + (1-r)C \parallel B$
Věta $\D{TEU}$

Existuje $u : \mcal U \to \R$ tak, že pro $$ \forall A,B \in \mcal U, r \in [0,1]: \quad u(A) < u(B) \iff A \prec B $$ a navíc platí

  • $u(rA + (1-r)B$ = ru(A) + (1-r)u(B)$
  • je-li $v$ jiná taková funkce, pak platí
    $$(\forall A \in \mcal U): \quad v(A) = \alpha u(A) + \beta,$$ kde $\alpha > 0, \beta \in \R$
Lemma $\D{TUL}$

Pokud $B \prec A$ a máme $0 \leq s \leq r \leq 1$, pak

  1. $$sA + (1-s)B \leq rA + (1-r) B$$
  2. $$B \prec C \prec A, r \in (0,1) : \quad r A + (1-r) B \parallel C,$$ pak $r$ je určeno jednoznačně
Důkaz $\tagDe{TUL}$
  1. $$ sA + (1-s)\left(\frac {r-s} {1-s} A + \frac {1-r}{1-s} B\right) =^{\tagEq{U7}} \ A (r-s)A + (1-r) B =^{\tagEq{U7}} \ r\left(\frac s r A + \frac {r-s} r A\right) + (1-r) B =^{\tagEq{U8}} rA + (1-r) B $$ a podle $\tagEq{U8}$ platí
    $$ B = \frac {r-s} {1-s} B + \frac {1-r} {1_s} B \prec^{\tagEq{U10}} \frac {r-s} {1-s} A + \frac {1-r} {1_s} $$ a celkem podle $\tagEq{U10}$ dostáváme
    $$ rA + (1-r) B \succ sA + (1-s) B $$
  2. Mějme $r,s$ a $$ rA + (1-r)B \parallel sA + (1-s)B, $$ což je spor s $\tagDe{TUL}$/1 a navíc
    • $r = 0 \implies B \parallel C$ spor
    • $r = 1 \implies A \parallel C$ spor
Důkaz $\tagDe{TEU}$

Vezměme události $E,F \in \mcal U, E \prec F$. Uvážíme $A \in \mcal U$, pak nastane některá z možností

  • $F \prec A$
  • $F \parallel A$
  • $E \prec A \prec F$
  • $E \parallel A$
  • $A \prec E$

Kdyby takové $E,F$ neexistovalo, pak $E \parallel F$ pro libovolná $E,F$ a mohli bychom volit $u \equiv 0$ $\tagEq{U1}$

Back to top