2. přednáška

$$ \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\norm#1{\left\lVert #1 \right\rVert} \xdef\dist{\rho} \xdef\and{\&}\xdef\AND{\quad \and \quad}\xdef\brackets#1{\left\{ #1 \right\}} \xdef\parc#1#2{\frac {\partial #1}{\partial #2}} \xdef\mtr#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}}\xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\l{\lambda} \xdef\th{\vartheta} \xdef\a{\alpha} \xdef\vf{\varphi} \xdef\Tagged#1{(\text{#1})} \xdef\tagged*#1{\text{#1}} \xdef\tagEqHere#1#2{\href{#2\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDeHere#1#2{\href{#2\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\tagEq#1{\href{\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDe#1{\href{\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\T#1{\htmlId{eq-#1}{#1}} \xdef\D#1{\htmlId{de-#1}{\vv{#1}}} \xdef\conv#1{\mathrm{conv}\, #1} \xdef\cone#1{\mathrm{cone}\, #1} \xdef\aff#1{\mathrm{aff}\, #1} \xdef\lin#1{\mathrm{Lin}\, #1} \xdef\span#1{\mathrm{span}\, #1} \xdef\O{\mathcal O} \xdef\ri#1{\mathrm{ri}\, #1} \xdef\rd#1{\mathrm{r}\partial\, #1} \xdef\interior#1{\mathrm{int}\, #1} \xdef\proj{\Pi} \xdef\epi#1{\mathrm{epi}\, #1} \xdef\grad#1{\mathrm{grad}\, #1} \xdef\gradT#1{\mathrm{grad}^T #1} \xdef\gradx#1{\mathrm{grad}_x #1} \xdef\hess#1{\nabla^2\, #1} \xdef\hessx#1{\nabla^2_x #1} \xdef\jacobx#1{D_x #1} \xdef\jacob#1{D #1} \xdef\subdif#1{\partial #1} \xdef\co#1{\mathrm{co}\, #1} \xdef\iter#1{^{[#1]}} \xdef\str{^*} \xdef\spv{\mcal V} \xdef\civ{\mcal U} \xdef\other#1{\hat{#1}} $$

Definice $\D{KON}$ (Konečná hra)

Mějme množinu hráčů $N = \set{1, 2, \dots, n}$. Pak hra $G = (M, X_i, u_i)$ je konečná, pokud jsou $X_i$ konečné.

Na konečných hrách můžeme zavést tzv. pravděpodobností rozšíření

Definice $\D{SYM}$ (Symetrická hra)

Hra $G$ 2 hráčů je symetrická právě tehdy, když $u(x,y) = v(y, x)$. V případě bimaticových her to je ekvivalentní s podmínkou $$ U^T = V $$

Příklad (kámen, nůžky, papír)

Mějme 2 hráče, tj. $N = \set {1, 2}$ a $X = Y = \set{ \mcal K, \mcal N, \mcal P }$. Jelikož je to bimaticová hra, tak výhra je dána jako $$ U = \mtr{ 0 & 1 & -1 \ -1 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ } $$

Sloupce a řádky jsou indexovány $\mcal K, \mcal N, \mcal P$

Podívejme se na Nashovu rovnováhu, tj. $$ u(x,y) \geq u(\bar x, y) \quad \text{pro libovolné } \bar x \ $$