Subgradient a subdiferenciál a Fenchelova transformace
$$ \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\norm#1{\left\lVert #1 \right\rVert} \xdef\dist{\rho} \xdef\and{\&}\xdef\brackets#1{\left\{ #1 \right\}} \xdef\parc#1#2{\frac {\partial #1}{\partial #2}} \xdef\mtr#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}}\xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\l{\lambda} \xdef\th{\vartheta} \xdef\a{\alpha} \xdef\tagged#1{(\text{#1})} \xdef\tagged*#1{\text{#1}} \xdef\tagEqHere#1#2{\href{#2\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDeHere#1#2{\href{#2\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\tagEq#1{\href{\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDe#1{\href{\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\T#1{\htmlId{eq-#1}{#1}} \xdef\D#1{\htmlId{de-#1}{\vv{#1}}} \xdef\conv#1{\mathrm{conv}\, #1} \xdef\cone#1{\mathrm{cone}\, #1} \xdef\aff#1{\mathrm{aff}\, #1} \xdef\lin#1{\mathrm{Lin}\, #1} \xdef\span#1{\mathrm{span}\, #1} \xdef\O{\mathcal O} \xdef\ri#1{\mathrm{ri}\, #1} \xdef\rd#1{\mathrm{r}\partial\, #1} \xdef\interior#1{\mathrm{int}\, #1} \xdef\proj{\Pi} \xdef\epi#1{\mathrm{epi}\, #1} \xdef\grad#1{\mathrm{grad}\, #1} \xdef\hess#1{\nabla^2\, #1} \xdef\subdif#1{\partial #1} $$
Definice $\D{2.5.1}$ (Subgradient a subdiferenciál)
Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina. Vektor $a \in \R^n$ se nazývá subgradient funkce $f: X \to \R$ v bodě $x^* \in X$, jestliže $$ f(x) - f(x^* ) \geq \scal a {x - x^* } \tag{\T{2.5.1}} $$ pro každé $x \in X$. Množina všech subgradientů funkce $f$ v bodě $x^* $ se nazývá subdiferenciál funkce $f$ v bodě $x^* $ a značí se $\subdif f(x^* )$. Funkce $f$ se nazývá subdiferencovatelná v bodě $x^* $, jestliže $\subdif f(x^* ) \neq \emptyset$.
Jistě platí podle Věty $\tagDeHere{2.4.2}{
../konvexni-funkce}$ i $\grad f(x^* ) \in \subdif f(x^* )$
Speciálně, je-li $f:X \subseteq \R \to \R$ konvexní a $x^* \in \ri X$, pak podle Věty $\tagDeHere{2.4.7}{../konvexni-funkce}$ existují jednostranné derivace $f'_ +(x^* ), f'_ -(x^* )$, přičemž platí $f'_ -(x^* ) \leq f'_ +(x^* )$. V tomto případě pak máme
$$
\subdif f(x^* ) = [f'_ -(x^* ), f'_ +(x^* )]
$$
Věta $\D{2.5.4}$
Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a $f: X \to \R$
- Je-li funkce $f$ konvexní a $x^* \in \ri X$, pak $\subdif f(x^* )$ je neprázdná, uzavřená a konvexní množina
- Je-li $\subdif f(x)$ neprázdná pro každé $x \in X$, pak $f$ je konvexní na $X$