Numerické metody v R^n

$$ \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\norm#1{\left\lVert #1 \right\rVert} \xdef\dist{\rho} \xdef\and{\&}\xdef\brackets#1{\left\{ #1 \right\}} \xdef\parc#1#2{\frac {\partial #1}{\partial #2}} \xdef\mtr#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}}\xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\l{\lambda} \xdef\th{\vartheta} \xdef\a{\alpha} \xdef\tagged#1{(\text{#1})} \xdef\tagged*#1{\text{#1}} \xdef\tagEqHere#1#2{\href{#2\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDeHere#1#2{\href{#2\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\tagEq#1{\href{\#eq-#1}{(\text{#1})}} \xdef\tagDe#1{\href{\#de-#1}{\text{#1}}} \xdef\T#1{\htmlId{eq-#1}{#1}} \xdef\D#1{\htmlId{de-#1}{\vv{#1}}} \xdef\conv#1{\mathrm{conv}\, #1} \xdef\cone#1{\mathrm{cone}\, #1} \xdef\aff#1{\mathrm{aff}\, #1} \xdef\lin#1{\mathrm{Lin}\, #1} \xdef\span#1{\mathrm{span}\, #1} \xdef\O{\mathcal O} \xdef\ri#1{\mathrm{ri}\, #1} \xdef\rd#1{\mathrm{r}\partial\, #1} \xdef\interior#1{\mathrm{int}\, #1} \xdef\proj{\Pi} \xdef\epi#1{\mathrm{epi}\, #1} \xdef\grad#1{\mathrm{grad}\, #1} \xdef\hess#1{\nabla^2\, #1} \xdef\subdif#1{\partial #1} \xdef\co#1{\mathrm{co}\, #1} \xdef\iter#1{^{[#1]}} $$

Budeme se věnovat úlohám (přesněji numerickým metodám jejich řešení) typu $$ f(x) \to \min, \quad x \in \R^n, \tag{\T{3.2.1}} $$ kde $f:\R^n \to \R$ je (jednou/dvakrát/třikrát) spojitě diferencovatelná funkce. Obecně jsou metody numerické optimalizace založeny na minimalizační posloupnosti $\brackets{x^{[k]}}$ definované jako $$ x^{[k+1]} = x^{[k]} + \a_k h_k, $$ kde $\a_k \in \R$ se nazývá délka $k$-tého kroku a vektor $h_k \in \R^n$ je směr $k$-tého vektoru.

Budeme uvažovat tzv. přesnou minimalizaci, kdy dílčí minimalizace řešíme přesně (nikoliv numerickými metodami)

Všechny následující metody jsou spádové

Metoda největšího spádu

U této metody volíme $$ h_k = - \grad f(x^{[k]}), $$ přičemž délku kroku volíme přesným řešením úlohy $$ f(x^{[k+1]}) = f(x^{[k]} - \a_k \grad f(x^{[k]})) = \min_{\a \geq 0} f(x^{[k]} - \a \cdot \grad f(x^{[k]})) $$ Dále bude platit, že vektory určené body $x^{[k+1]}, x^{[k]}$ a $x^{[k+2]}, x^{[k+1]}$ jsou na sebe ortogonální. Z tohoto dostáváme, že pro daný směr hledáme nejblížší vrstevnici, která bude tečná k tomuto vektoru.

Tato metoda je prvního řádu (stačí nám pouze gradient).

V některých případech dochází k tzv. "cik-cak" efektu (klikatěni), kdy se minimalizující posloupnost dostává k optimu velmi pomalu. Toto se děje například u Rosenbrockovy (banánové) funkce (jedna z testovacích funkcí)

Kvadratické funkce

Nechť $f$ je kvadratická funkce tvaru $$ f(x) = \frac 1 2 \scal {Qx} x - x^T b \tag{\T{3.2.2}}, $$ kde $Q = Q^T > 0$ je symetrická $n \times n$ matice a $b \in \R^n$. Taková funkce $f$ je ostře (i silně) konvexní. Z pozitivní definitnosti $Q$ dostáváme, že vlastní čísla matice $Q$ jsou kladné a můžeme je uspořádat následovně $$ 0 < \l_1 \leq \l_2 \leq \dots \leq \l_n $$ Díky tomu můžeme úlohu $\tagEq{3.2.1}$ vyřešit "přímo" jako $x^* = Q^{-1} b$, nicméně počítání inverze může být velice náročné (výpočetně).

V tomto případě je gradient $g$ funkce $f$ dán jako $$ g(x) := \grad f(x) = Qx - b, $$ tedy v jednotlivých iteracích dostáváme $g_k := Qx^{[k]} - b$ a $\a_k$ můžeme určit jako $$ \a_k = {g_k^T g_k \over g_k^T Q g_k} \in [1/\l_n, 1/\l_1] $$

Nyní se zaměříme na konvergenci metody, kterou můžeme zkoumat pomocí $$ E(x) := f(x) - f(x^* ) = \frac 1 2 (x - x^* )^T Q (x - x^* ) $$

Lemma $\D{3.2.1}$ (Konvergence metody největšího spádu)

Platí $$ E(x^{[k+1]}) = \left(1 - {(g_k^T g_k)^2 \over (g_k^T Q g_k)(g_k^T Q^{-1} g_k)} \right) E(x^{[k]}) $$

Z Lemmatu $\tagDe{3.1.2}$ okamžitě plyne, že pokud pro nějaké $k \in \N$ nastane $$ 1 = {(g_k^T g_k)^2 \over (g_k^T Q g_k)(g_k^T Q^{-1} g_k)}, \tag{\T{3.2.1-a}} $$ tak v $k+1$ metoda největšího spádu nalezne řešení přesně. V opačném případě je metoda nekonečně-kroková.

Rovnost $\tagEq{3.2.1-a}$ nastane v případě, že $g_k$ je vlastním vektorem matice $Q$, jinak řečeno gradient musí mířit do středu elipsy (elipsoidu).

V případě, že $\l_1 = \dots = \l_n$ je konvergence superlineární. Naopak pokud $\l_1 = \dots = \l_{n-1} \neq \l_n$, tak může být konvergence velice pomalá. Ve skutečnosti ještě rychlost konvergence závisí na počátečním $x^{[0]}$

Nekvadratické funkce

V případě nekvadratické funkce je metoda největšího spádu schopna nalézt pouze stacionární body.

Lemma $\D{3.2.2iii}$ (Lokální konvergence)

Nechť $f: \R^n \to \R$ je spojitě diferencovatelná. Jestliže bod $x^{[0]} \in \R^n$ je takový, že množina $$ \set{x \in \R^n \mid f(x) \leq f(x^{[0]})} $$ je ohraničená, pak posloupnost $\brackets{x^{[k]}}$ generovaná metodou největšího spádu konverguje k bodu $x^* $, kde $\grad f(x^* ) = 0$.

Pokud konverguje $\brackets{x^{[k]}}$ k bodu $x^* $ a funkce $f$ je dvakrát spojitě diferencovatelná na okolí $x^* $ a platí $$ aI \leq \hess f(x^* ) \leq AI, $$ kde $a, A > 0$ (tedy $f$ je v okolí $x^* $ silně konvexní), pak metoda konverguje (alespoň) s rychlostí $\left(A - a \over A + a\right)^2$

Tedy i pro nekvadratické funkce hraje velkou roli podmíněnost matice $\hess f(x^* )$

Metoda největšího spádu se nejčastěji využívá v jiných metodách jako pomocné, když ony metody samotné v tu chvíli neposkytují dostatečné zlepšení

Celkem můžeme metodu největšího spádu shrnout:

globální konvergence (pro nekvadratické metody za dalších předpokladů)
pomalá konvergence
- mnohdy numericky ani nekonverguje
je základem pro další (lepší) metody

Newtonova metoda

Hlavní myšlenkou Newtonovy metody je, že v $(k+1)$-kroku, kde $k \in \N_0$, funkci $f$ aproximujeme Taylorovým polynomem druhého řádu se středem v bodě $x^{[k]}$ a jako $x^{[k+1]}$ volíme bod, ve kterém tento polynom nabývá svého minima.

Jinak řečeno místo tečné nadroviny k funkci konstruujeme tečnou $n$-rozměrnou parabolu

Tedy místo funkce $f$ uvažujeme v $k$-tém kroku $$ T_k(x) := f(x^{[k]}) + \grad f(x^{[k]}) (x - x^{[k]}) + \frac 1 2 (x - x^{[k]})^T \hess f(x^{[k]}) (x - x^{[k]}) \approx f(x) $$

Jelikož hledáme řešení $T_k(x) \to \min$, tak výraz výše první zderivujme, z čehož dostaneme $$ \grad T_k(x) = \grad f(x^{[k]}) + \hess f(x^{[k]}) (x - x^{[k]}), $$ což v případě regulární matice $\hess f(x^{[k]})$ vede na $$ x^{[k+1]} = x^{[k]} - (\hess f(x^{[k]}))^{-1} \grad f(x^{[k]}) $$

Pro $\hess f(x) > 0$ je funkce konvexní a nalezneme minimum

Nicméně je důležité podotknout, že výpočet $(\hess f(x^{[k]}))^{-1}$ je velmi výpočetně náročný. Avšak v případě kvadratické funkce Newtonova metoda nalezne řešení v jednom kroku, tedy její rychlost konvergence je superlineární s řádem $\infty$.

Regularita matice $\hess f(x^{[k]})$ je velmi důležitá pro konvergenci, viz následující věta.

Věta $\D{3.2.5}$

Nechť $f \in C^3$ v okolí bodu $x^* \in \R^n$, který je nedegenerovaným minimem, tj. $\grad f(x^* ) = 0$ a $\hess f(x^* ) > 0$. Potom pro $x^{[0]} \in \R^n$ dostatečně blízko $x^* $ konverguje $\brackets{x^{[k]}}$ generovaná Newtonovou metodou k bodu $x^* $ superlineárně s řádem (alespoň) $p = 2$ (tj. kvadraticky).

Zde určit, co znamená "dostatečně blízko $x^* $" je obtížné

Celkem můžeme Newtonovu metodu shrnout jako:

velmi rychlá konvergence
nutnost dostatečně blízké počáteční aproximace
velmi velká výpočetní náročnost při velkém $n$ (počtu dimenzí)

Metoda sdružených gradientů

Uvažujme situaci v úloze $\tagEq{3.2.1}$, kdy máme funkci $$ f(x) = \frac 1 2 x^T Q x - b^T x \tag{\T{MSG}}, $$ kde $Q = Q^T \in \R^{n \times n}, Q > 0$ je symetrická matice a $b \in \R^n$.

Pak nalezení úlohy $\tagEq{3.2.1} \; \and \; \tagEq{MSG}$ je ekvivalentní s řešením úlohy $$ Qx = b \tag{\T{MSGa}}, $$ kterou umíme řešit například Gaussovou eliminací.

Metoda sdružených gradientů je v případě $Q > 0$ přímou metodou, která dojde k řešení $\tagEq{MSGa}$ po $n$ krocích. Nicméně tento fakt lze brát také jako, že je to iterační metoda s velmi rychlou konvergencí v případě pozitivně definitní matice.

Definice $\D{3.2.7}$ ($Q$-sdružené vektory)

Nechť $Q = Q^T \in \R^{n \times n}$ je pozitivně definitní. Vektory $h_1, h_2 \in \R^n \setminus \set{0}$ se nazývají $Q$-sdružené (nebo také $Q$-ortogonální), jestliže $$ \scal {Qh_1} {h_2} = h_1^T Q h_2 = 0 $$ Systém vektorů $\set{h_0, \dots, h_{m-1}}$ v $\R^n \setminus \set{0}$ pro $m \in \set{2, \dots, n}$ se nazývá $Q$-sdružený, jestliže $$ \scal {Q h_i} {h_j} = 0 \text{ pro } i \neq j $$

Věta $\D{3.2.8}$

Nechť systém vektorů $\set{h_0, \dots, h_{m-1}}$ v $\R^n \setminus \set{0}$ s $m \in \set{2, \dots, n}$ je $Q$-sdružený. Potom jsou tyto vektory lineárně nezávislé.

Věta $\D{3.2.9}$

Nechť $m \in \set{2, \dots, n}$ a mějme systém $Q$-sdružených vektorů $\set{h_0, \dots, h_{m-1}}$ v $\R^n$. Nechť $x \iter 0$ je dáno a body $x \iter 1, \dots, x \iter m$ jsou dány jako $$ x \iter {k+1} = x \iter k + \a_k h_k = x \iter 0 + \sum_{i = 1}^k \a_i h_i, \quad k \in \set{0, \dots, m-1}, \tag{\T{3.2.8}} $$ kde $\a_k$ jsou volena tak, že $f(x \iter k + \a_k h_k) = \min_{\a \in \R} f(x \iter k + \a h_k)$ pro $k \in \set{0, \dots, m-1}$ (tj. jsou volena přesnou minimalizací). Pak pro kvadratickou funkci $f$ definovanou v $\tagEq{MSG}$ platí $$ f(x \iter m) = \min_{x \in X_m} f(x), $$ kde $X_m := \lin \set{h_0, \dots, h_{m-1}}$. Zejména pro $m = n$ dostáváme $$ f(x \iter n) = \min_{x \in \R^n} f(x), $$ tj. $x \iter n$ je řešením úlohy $\tagEq{3.2.1} \; \and \; \tagEq{MSG}$.