Konvexní analýza

$$ \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\and{\&}\xdef\brackets#1{\left\{ #1 \right\}} \xdef\parc#1#2{\frac {\partial #1}{\partial #2}} \xdef\mtr#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}}\xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\l{\lambda} \xdef\a{\alpha} \xdef\tagged#1{(\text{#1})} $$

Konvexní množiny

Definice 1.1 (Konvexní množina)

Nechť $X \subset \R^n$. Množina $X$ se nazývá konvexní, jestliže pro všechna $x_1, x_2 \in X$ a pro každé $\l \in [0,1]$ platí $$ \l x_1 + (1 - \l) x_2 \in X \tag{KM} $$

Speciálně prázdnou množinu $\emptyset$ považujeme za konvexní

Operace nad konvexními množinami

Mějme $X_i, i \in I$ konvexní množiny. Potom

• jejich sjednocení $\bigcap_{i \in I} X_i$ je konvexní množina
• jejich součet $\a_1 X_1 + \dots + \a_m X_m = \brackets{x \in \R^n \mid x = \displaystyle \sum_{i = 1}^m \a_i x_i \text{ pro nějaká } x_i \in X_i}$ je opět konvexní

Vlastnosti konvexních množin

Definice 2.1.3 (Speciální konvexní množiny)

Množina $X \subseteq \R^n$ se nazývá

• kužel, jestliže pro každé $x \in X$ a pro každé $\l \in [0, \infty)$ je také $\l x \in X$

• konvexní kužel, jestliže je množina $X$ konvexní a současně kuželem

• afinní, jestliže pro každé $x_1, x_2 \in X$ a pro každé $\l \in \R$ platí $$ \l x_1 + (1 - \l)x_2 \in X $$

Dále si rozeberme různé kombinace bodů

Definice 2.1.4 (Lineární kombinace)

Nechť $x_1, \dots, x_m \in \R^n$. Lineární kombinace $\l_1 x_1 + \dots + \l_m x_m$ se nazývá

• konvexní, jestliže $\l_1, \dots, \l_m \geq 0$ a $\sum_{i = 1}^m \l_i = 1$
• nezáporná, jestliže $\l_1, \dots, \l_m \geq 0$
• afinní, jestliže $\sum_{i = 1}^m \l_i = 1$.