Skip to main content

4. cvičení

\xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\N{\mathbb N} \xdef\R{\mathbb R} \xdef\Q{\mathbb{Q}} \xdef\Z{\mathbb{Z}} \xdef\D{\mathbb{D}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}} \xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\floor#1{\lfloor #1 \rfloor} \xdef\ceil#1{\lceil #1 \rceil} \xdef\grad#1{\mathrm{grad} , #1} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\im#1{\mathrm{im}(#1)} \xdef\tr#1{\mathrm{tr}(#1)} \xdef\norm#1{\left\vert \left\vert #1 \right\vert\right\vert} \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle}

1. příklad

Máme symetrickou idempotentní matice PP velikosti n×nn\times n, což je matice ortogonální projekce.

a)

Jelikož je PP symetrická, tak existuje spektrální rozklad tvaru P=UΛUT P = U \Lambda U^T

matice UU je ortogonální a plné hodnosti

a jelikož je idempotentní P=PP P = PP Potom UΛUT=P=PP=UΛUTU⏟IΛUT=UΛ2UT U\Lambda U^T = P = PP = U \Lambda \underbrace{U^T U}_{I} \Lambda U^T = U \Lambda^2 U^T A celkem dostáváme Λ2=Λ\Lambda^2 = \Lambda. Navíc jelikož je Λ\Lambda diagonální, tak pro všechna vlastní čísla λ\lambda matice Λ\Lambda platí λ2=λ(λ−1)λ=0  ⟹  λ=0∨λ=1 \lambda^2 = \lambda\\ (\lambda - 1)\lambda = 0 \implies \lambda = 0 \lor \lambda = 1

Idempotentní matice PP je invertibilní právě tehdy, když P=IP = I

b)

Jelikož P=UΛUTP = U\Lambda U^T, pak UU je plné hodnosti (je ortogonální), pak h(P)=h(UΛUT)=h(Λ)=∣{ λi,  λi=1 }∣ h(P) = h(U\Lambda U^T) = h(\Lambda) = | \set{\lambda_i, \; \lambda_i = 1} |

# značí počet

c)

Z části b) máme   ⟹  h(P)=⋯=∑λi=tr(Λ)=tr(ΛUUT) \implies h(P) = \dots = \sum \lambda_i = \tr \Lambda = \tr {\Lambda U U^T} A jelikož pro stopu součinu matic platí tr(ABC)=tr(CAB)\tr {A B C} = \tr {C A B} (invariantnost vůči cyklickým operacím), pak   ⟹  h(P)=⋯=tr(UΛUT)=tr(P) \implies h(P) = \dots = \tr {U \Lambda U^T} = \tr P

d)

Je-li vektor y∈im(P)\vv y \in \im P, pak Py=yP \vv y = \vv y Pokud y∈im(P)\vv y \in \im P, pak ∃z\exists \vv z, že y=Pz\vv y = P \vv z

Definice obrazu im(P)\im P: $$\im P = {\set{\vv y \in \R^n;n ;\mid \exists \vv z \in \R^n : \; P\vv z = \vv y}$$

Pak Py=P(Pz)=(PP)z=Pz=y P \vv y = P (P \vv z) = (P P) \vv z = P \vv z = \vv y

e)

Chceme ukázat, že projekce do menšího podprostoru je zároveň projekce do onoho většího prostoru

Nechť z∈Rn\vv z \in \R^n je libovolné, projekce zz do menšího prostoru je prvek většího prostoru. P~z∈im(P~)≤im(P) \tilde P \vv z \in \im {\tilde P} \leq \im P Pak podle d) platí P(P~z)=P~zP(P~z)−P~z=0(PP~−P~)z=0, P(\tilde P \vv z) = \tilde P \vv z\\ P(\tilde P \vv z) - \tilde P \vv z = \vv 0 \\ (P\tilde P - \tilde P) \vv z = \vv 0, nicméně vektor z\vv z byl libovolný. To tedy znamená, že zobrazení PP~−P~P \tilde P - \tilde P pošle všechny z∈Rn\vv z \in \R^n na nulový vektor, tj. ker⁡(PP~−P~)=Rn \ker (P \tilde P - \tilde P) = \R^n Z lineární algebry víme, že dim⁡ker⁡(A)+dim⁡im(A)=n\dim \ker(A) + \dim \im A = n pro AA tvaru n×nn \times n. A tedy dim⁡im(PP~−P~)=0  ⟹  PP~−P~=0 \dim \im {P \tilde P - \tilde P} = 0 \implies P \tilde P - \tilde P = \vv 0 Neboť P,P~P, \tilde P jsou ortogonální projekce, tak jsou symetrické. Celkem P~P=P~TPT=(P~P)T=P~T=P~=PP~ \tilde P P = \tilde P^T P^T = (\tilde P P)^T = \tilde P^T = \tilde P = P\tilde P

f)

Nechť x∈Rn\vv x \in \R^n pevné. Mějme Pz∈im(P)P \vv z \in \im P Vezměme libovolné y∈im(P)\vv y \in \im P a spočítáme ∣∣y−x∣∣2\norm {\vv y - \vv x}^2 Pak ∣∣y−x∣∣2=∣∣Px−x+y−Px∣∣2=⟨(Px−x)+(y−Px),(Px−x)+(y−Px)⟩ \norm {\vv y - \vv x}^2 = \norm{P \vv x - x + y - P \vv x}^2 = \scal {(P \vv x - \vv x) + (\vv y - P \vv x)} {(P \vv x - \vv x) + (\vv y - P \vv x)}

Pro skalární součin platí ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩⟨u,av⟩=a⟨u,v⟩,;a∈R\scal {\vv u} {\vv v} = \scal {\vv v} {\vv u} \\ \scal {\vv u + \vv v} {\vv w} = \scal {\vv u} {\vv w} + \scal {\vv v} {\vv w} \\ \scal {\vv u} {a\vv v} = a \scal {\vv u} {\vv v}, ; a \in \R

Pak dostáváme =∣∣Px−x∣∣2+2⟨Px−x,y−Px⟩+∣∣y−Px∣∣2 = \norm{P \vv x - \vv x}^2 + 2 \scal {P \vv x - \vv x} {\vv y - P \vv x} + \norm{\vv y - P \vv x}^2

A zajímá nás hlavně ⟨Px−x,y−Px⟩\scal {P \vv x - \vv x} {\vv y - P \vv x}, tedy

⟨Px−x,y−Px⟩=(y−Px)T(Px−x)=yT(Px−x)−(Px)TPx−x= \scal {P \vv x - \vv x} {\vv y - P \vv x} = (\vv y - P \vv x)^T (P \vv x - \vv x) = \vv y^T (P \vv x - \vv x) - (P \vv x)^T P \vv x - \vv x = =yTPx−yTx−xTPTP⏟Px+xTPTx=yTPx−yTx = \vv y^T P \vv x - \vv y^T \vv x - \vv x^T \underbrace{P^T P}_ {P} \vv x + \vv x^T P^T \vv x = \vv y^T P \vv x - \vv y^T \vv x

Jelikož y∈im(P)\vv y \in \im P, tak jistě ∃z∈Rn\exists \vv z \in \R^n takové, že y=Pz\vv y = P \vv z. Z toho plyne

yTPx−yTx=(Pz)TPx−(Pz)Tx=zTPTP⏟Px−zTPT⏟Px=0 \vv y^T P \vv x - \vv y^T \vv x = (P \vv z)^T P \vv x - (P \vv z)^T \vv x = \vv z^T \underbrace{P^T P}_ {P} \vv x - \vv z^T \underbrace{P^T}_ {P} \vv x = 0

Celkem ∣∣y−x∣∣2\norm {\vv y - \vv x}^2 závisí pouze na ∣∣y−Px∣∣2\norm {\vv y - P\vv x}^2 a ∣∣Px−x∣∣2+2⟨Px−x,y−Px⟩⏟0+∣∣y−Px∣∣2≥∣∣Px−x∣∣2 \norm{P \vv x - \vv x}^2 + \underbrace{2 \scal {P \vv x - \vv x} {\vv y - P \vv x}}_{0} + \norm{\vv y - P \vv x}^2 \geq \norm{P \vv x - \vv x}^2 a rovnost nastane pouze v případě Px=yP \vv x = \vv y.

Zadání v R

Vykreslit si grafy hustot a distribučních funkcí pro

  • N(0,1)N(0,1) a spočítat P(X≤2)P(X \leq 2)
  • Studentovo t(df=5)t(df = 5) a spočítat P(X≤2)P(X \leq 2)
  • χ2(df=10)\chi^2(df = 10) a spočítat P(X≤20)P(X \leq 20)
  • Fisherovo F(5,10)F(5, 10) a spočítat P(X≤2)P(X \leq 2)

a vypočtěte 95% kvantil a zaznačte do grafu

Back to top