3. cvičení
$$ \xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\N{\mathbb N} \xdef\R{\mathbb R} \xdef\Q{\mathbb{Q}} \xdef\Z{\mathbb{Z}} \xdef\D{\mathbb{D}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}} \xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\floor#1{\lfloor #1 \rfloor} \xdef\ceil#1{\lceil #1 \rceil} \xdef\grad#1{\mathrm{grad} , #1} \xdef\ve{\varepsilon} $$
Příklad 1
Máme symetrickou, pozitivně definitní matici $m \times m$ značenou $\Sigma$.
a)
Poz. def $\iff$ všechna vlastní čísla jsou kladná $\implies$ $\det(\lambda_1 \dots \lambda_m) > 0$ $\implies$ inverze bude existovat $\implies h(\Sigma) = m$
b)
Matice $\Sigma$ je samoadjungovaný operátor Inverzi sestrojíme pomocí spektrálního rozkladu. $$ \Sigma = U \Lambda U^T, $$ kde $U$ je tvořená vlastními vektory a je ortogonální ($U \cdot U^T = I$) a $\Lambda$ je diagonální matice vlastních čísel.
Pak inverze je $$ \Sigma^{-1} = U \Lambda^{-1} U^T $$
A jako ověření $$ \Sigma \Sigma^{-1} = U \Lambda U^T U \Lambda^{-1} U^T = I $$
c)
Ze spektrálního rozkladu je jistě matice $\Sigma^{-1}$ pozitivně definitní. Nechť $\vv x \neq 0$ libovolné, pak $$ \vv x^T \Sigma^{-1} \vv x = \vv x^T U \Lambda^{-1} U^T \vv x = \vv x^T U \Lambda^{-\frac 1 2} \Lambda^{-\frac 1 2} U^T \vv x, $$ kde $\Lambda^{-\frac 1 2}$ je matice s převrácenými hodnotami odmocnin vlastních čísel matice $\Sigma$ na diagonále a tedy $$ \underbrace{\vv x^T U \Lambda^{-\frac 1 2}}{\vv y} \underbrace{\Lambda^{-\frac 1 2} U^T \vv x}{\vv y^T} = \vert \vert \vv y \vert \vert^2 > 0 $$
d)
Mějme množinu $S_c$ takovou, že $$ S_c = {\vv x; ; (\vv x - \vv \mu)^T \Sigma^{-1} (\vv x- \vv \mu) = c }, $$ kde $\vv \mu \in \R^m$ a $c \in \R$.
Pro $c < 0$ je $S_c \equiv \emptyset$.
Dále pro $c = 0$ je řešením pouze $S_c = {\vv \mu}$.
Nakonce pro $c > 0$ je
$$
\underbrace{(\vv x - \vv \mu)^T U}_{\vv y} \Lambda^{-1} U^T (\vv x - \vv \mu) = \vv y^T \Lambda^{-1} \vv y
$$
A pro $m = 2$ tedy
$$
(y_1 ; y_2)
\begin{pmatrix}
\frac 1 {\lambda_1} & 0 \
0 & \frac 1 {\lambda_2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \ y_2
\end{pmatrix} = c
$$
$$
\frac {y_1^2} {\lambda_1} + \frac{y_2^2} {\lambda_2} = c,
$$
což je rovnice elipsy se středem $(\mu_1, \mu_2)$ a směry os jsou právě vlastní vektory $\Sigma$. Nakonec délky poloos budou $\sqrt{c \lambda_i}$
Analogicky pro $m > 2$ dostaneme elipsoid.
Příklad 4
Matice $\Sigma$ je poz. semidef matice symetrická matice $m \times m$.
a)
$$ h(\Sigma) = r, $$ kde $0 < r \leq m$.
Nahradíme $U$ za matici $$ U_1 = \begin{pmatrix} \vv u_1 & \vert & \vv u_2 & \vert & \dots & \vert & \vv u_r \end{pmatrix} $$ a také $$ \Lambda_1 = \mathrm{diag} (\lambda_1, \dots, \lambda_r) $$
b)
Sestrojme matici $\tilde{\Sigma}$ takovou, že $\tilde{\Sigma} \tilde{\Sigma}^T = \Sigma$ jako $$ \tilde{\Sigma} = U_1 \Lambda_1^{\frac 1 2}, $$ když je $h(\Sigma) = r$ a pro $h(\Sigma) = m$ jako $\tilde{\Sigma} = U \Lambda^{\frac 1 2}$.
d)
Zde značím pseudoinverzi matice $A$ jako $A^\dagger$
$\tilde{\Sigma}^\dagger = \Lambda_1^{- \frac 1 2} U_1^T$ a pro tuto matici bychom ukázali všechny 4 vlastnosti pseudoinverze, tj.
- $A A^\dagger A = A$
- $A^\dagger A A^\dagger = A^\dagger$
- $(A^\dagger A)^T = A^\dagger A$
- $(A A^\dagger)^T = A A^\dagger$