10. cvičení

$$ \xdef\mcal#1{\mathcal{#1}} \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\N{\mathbb N} \xdef\R{\mathbb R} \xdef\Q{\mathbb{Q}} \xdef\Z{\mathbb{Z}} \xdef\D{\mathbb{D}} \xdef\bm#1{\boldsymbol{#1}} \xdef\vv#1{\mathbf{#1}} \xdef\vvp#1{\pmb{#1}} \xdef\floor#1{\lfloor #1 \rfloor} \xdef\ceil#1{\lceil #1 \rceil} \xdef\grad#1{\mathrm{grad} , #1} \xdef\ve{\varepsilon} \xdef\im#1{\mathrm{im}(#1)} \xdef\tr#1{\mathrm{tr}(#1)} \xdef\norm#1{\left\vert \left\vert #1 \right\vert\right\vert} \xdef\scal#1#2{\langle #1, #2 \rangle} \xdef\ex#1{\mathrm{E} ,\left( #1\right)} \xdef\exv#1{\mathrm{E}, \vv{#1}} \xdef\mtrx#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} $$

Scheffeho věta $$ P\left([\vv b^T (A\hat\beta - A \beta)]^2 \leq m F_{1 - \alpha}(m, n - p) \hat \sigma^2 \vv b^T A (\vv X^T \vv X)^{-1} A^T \vv b\right) = 1 - \alpha $$ $\forall b \in \R^m$, je-li matice $A$ typu $m \times p$ plné hodnosti.

Příklad $$ Y_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Height}_I + \beta_2 \cdot \text{Sex}_i + \beta_3 \cdot (\text{Height} + \text{Sex})_i + \ve_i, \quad \ve \sim N(0, \sigma^2) $$ a chceme zkonstruovat 95% PS pro chlapce a dívky

1) Napíšeme tvar reg. křivky

2) Zvolíme vhodný tvar $\vv b$ a $A$:

Nejprve počítejme pro dívky, Označme $$ \vv b^T A = \vv x^T = (1, x, 0, 0) $$ 3) Odvodíme tvar pásu spolehlivosti (PS) $$ P\left([\vv x^T \hat \beta - \underbrace{\vv x^T \beta}_ {y = \beta_0 + \beta_1 x}]^2 \leq 2 F_ {1 - \alpha}(2, n - 4) \sigma^2 \vv x^T (\vv X^T \vv X)^{-1} \vv x \right) = 1 - \alpha $$ kde $y$ je náhodná proměnná. Upravujme

$$ P\left(|\vv x^T \hat \beta - y| \leq \sqrt{2 F_{1 - \alpha}(2, n - 4) \sigma^2 \vv x^T (\vv X^T \vv X)^{-1} \vv x} \right) = 1 - \alpha $$


Revision #2
Created 12 January 2023 12:12:00 by Sceptri
Updated 12 January 2023 12:57:01 by Sceptri